TERCEIRA QUANTIZAÇÃO PELO SDCTIE GRACELI

TRANS-QUÂNTICA SDCTIE GRACELI, TRANSCENDENTE, RELATIVISTA SDCTIE GRACELI, E TRANS-INDETERMINADA.

FUNDAMENTA-SE EM QUE TODA FORMA DE REALIDADE SE ENCONTRA EM TRANSFORMAÇÕES, INTERAÇÕES, TRANSIÇÕES DE ESTADOS [ESTADOS DE GRACELI], ENERGIAS E FENÔMENOS DENTRO DE UM SISTEMA DE DEZ OU MAIS DIMENSÕES DE GRACELI, E CATEGORIAS DE GRACELI.

FUNÇÃO GERAL GRACELI DA TRANS- INDETERMINALIDADE PELO SDCTIE GRACELI

FUNÇÃO FUNDAMENTAL E GERAL DO SISTEMA [SDCTIE GRACELI] DE  INTERAÇÕES, TRANSFORMAÇÕES EM CADEIAS, DECADIMENSIONAL E CATEGORIAL GRACELI.  E DE ESTADOS TRANSICIONAIS =

TRANSFORMAÇÕES ⇔ INTERAÇÕES  ⇔  TUNELAMENTO ⇔ EMARANHAMENTO ⇔ CONDUTIVIDADE  ⇔ DIFRAÇÕES ⇔ estrutura eletrônica, spin, radioatividade, ABSORÇÕES E EMISSÕES INTERNA ⇔  Δ de temperatura e dinâmicas, transições de estados quântico Δ ENERGIAS,  ⇔   Δ MASSA ,   ⇔ Δ  CAMADAS ORBITAIS ,  ⇔  Δ FENÔMENOS  ,  ⇔  Δ  DINÂMICAS,   ⇔  Δ  VALÊNCIAS,   ⇔  Δ BANDAS,  Δ  entropia e de entalpia,  E OUTROS.  

x

 [EQUAÇÃO DE DIRAC].

 + FUNÇÃO TÉRMICA.

   +    FUNÇÃO DE RADIOATIVIDADE

  ,      +   FUNÇÃO DE TUNELAMENTO QUÂNTICO.

  + ENTROPIA REVERSÍVEL 

+      FUNÇÃO DE CONDUÇÃO ELETROMAGNÉTICA

 ENERGIA DE PLANCK

X

• 
  V [R] [MA] =  Δe,M, Δf, ΔE, Δt, Δi, ΔT, ΔC, ΔE,ΔA, ΔD, ΔM......

  ΤDCG

  X

  Δe, ΔM, Δf, ΔE, Δt, Δi, ΔT, ΔC, ΔE,ΔA, ΔD, ΔM......  =
  x
  

  sistema de dez dimensões de Graceli + 

  DIMENSÕES EXTRAS DO SISTEMA DECADIMENSIONAL E CATEGORIAL GRACELI.[como, spins, posicionamento, afastamento, ESTRUTURA ELETRÔNICA, e outras já relacionadas]..
• 
  
• DIMENSÕES DE FASES DE ESTADOS DE TRANSIÇÕES DE GRACELI.
  

  x

  sistema de transições de estados, e estados  de Graceli, fluxos aleatórios quântico, potencial entrópico e de entalpia. [estados de transições de fases de estados de estruturas, quântico, fenomênico, de energias, e dimensional [sistema de estados de Graceli].

  x

número atômico, estrutura eletrônica, níveis de energia 

[comprimento de onda (λ).

onde c, velocidade da luz, é igual a .]

X

• TEMPO ESPECÍFICO E FENOMÊNICO DE GRACELI.
• X
• CATEGORIAS DE GRACELI
• T l    T l     E l       Fl         dfG l   

  N l    El                 tf l

  P l    Ml                 tfefel 

  Ta l   Rl

           Ll
           D

X

 [ESTADO QUÂNTICO]

X

TODA FORMA DE FUNÇÃO E EQUAÇÃO EM:

A maioria dos modelos que representam fenômenos físicos são lineares. Por exemplo: a interação gravitacional entre três partículas pode ser considerada como a composição da interação aos pares dessas partículas. Isso acontece por causa do Princípio da Superposição.^[1]

Assim, se ${\displaystyle {\vec {F}}_{1},{\vec {F}}_{2},...,{\vec {F}}_{n}}$ são forças de diferentes origens que atuam sobre a mesma partícula e ${\displaystyle {\vec {F}}}$ é a força resultante que atua sobre a partícula, temos que,

${\displaystyle {\vec {F}}={\vec {F}}_{1}+{\vec {F}}_{2}+...+{\vec {F}}_{n}}$ onde a soma é vetorial (para n = 2, obedece à regra do paralelogramo). Este é um resultado experimental, conhecido como princípio de superposição de forças.^[2]

Energia potencial e princípio de superposição

As forças gravitacionais Newtonianas obedecem ao princípio de superposição mencionado anteriormente: quando várias massas atuam sobre uma partícula, a força gravitacional sobre a partícula é a resultante das atrações exercidas por cada uma dessas massas. Para calcular o efeito de uma distribuição contínua de massa, como a da Terra, sobre uma partícula externa, poderíamos então subdividir essa distribuição em um grande número de elementos de volume (suficientemente pequenos para que cada um pudesse ser tratado como uma partícula), calcular pela lei da gravitação universal a atração gravitacional sobre a partícula exercida por cada um desses elementos, e depois efetuar a soma vetorial de todas essas forças de direções diferentes.

Esse cálculo pode ser grandemente simplificado usando o fato de que a força gravitacional é conservativa e substituindo o cálculo da força pelo da energia potencial da partícula na presença de distribuição de massa. A força pode ser calculada a partir da energia potencial pela equação:

${\displaystyle F=-\nabla U}$

X

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É fácil ver que o princípio da superposição se aplica também à energia potencial. Com efeito, decorre imediatamente da definição do gradiente que ${\displaystyle grad(U_{1}+U_{2}+...)=gradU_{1}+gradU_{2}+...}$

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Diversas notações são convencionadas para denotar a transformação de Fourier de uma função ${\displaystyle \mathrm {f:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {C} } }$. Utilizaremos a seguinte representação:

$${\displaystyle \mathrm {{\hat {f}}(\omega )\equiv F(\omega )\equiv {\mathcal {F}}\{f(t)\}\ {\overset {\underset {\mathrm {def} }{}}{=}}\int _{-\infty }^{\infty }f(t)\ e^{-i\omega t}\operatorname {d} \!t} \ \ \ \ \ {\begin{aligned}&{\mathsf {Transformada\ de\ Fourier\ }}\\&{\mathsf {do\ dominio\ do\ tempo\ }}\end{aligned}}}$$

X

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$${\displaystyle \mathrm {f(t)\equiv {\mathcal {F}}^{-1}\{F(\omega )\}\ {\overset {\underset {\mathrm {def} }{}}{=}}\ {\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }F(\omega )\ e^{i\omega t}\operatorname {d} \!\omega \ \ \ \ \ \ \omega \equiv 2\pi f} \ {\mathsf {(Frequ{\hat {e}}ncia\ angular)}}}$$

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$${\displaystyle \mathrm {{\hat {f}}(\kappa )\equiv F(\kappa )\equiv {\mathcal {F}}\{f(x)\}\ {\overset {\underset {\mathrm {def} }{}}{=}}\int _{-\infty }^{\infty }f(x)\ e^{-i\kappa x}\operatorname {d} \!x} \ \ \ \ \ {\begin{aligned}&{\mathsf {Transformada\ de\ Fourier\ }}\\&{\mathsf {do\ dominio\ do\ espaco\ }}\end{aligned}}}$$

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$${\displaystyle \mathrm {f(x)\equiv {\mathcal {F}}^{-1}\{F(\kappa )\}\ {\overset {\underset {\mathrm {def} }{}}{=}}\ {\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }F(\kappa )\ e^{i\kappa x}\operatorname {d} \!\kappa \ \ \ \ \ \kappa \equiv {\frac {2\pi }{\lambda }}} \ {\mathsf {(Vetor\ de\ onda)}}}$$

X

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A afirmação de que ${\displaystyle \mathrm {f} }$ pode ser reconstruída a partir de ${\displaystyle \mathrm {\hat {f}} }$ é conhecida como o teorema da inversão de Fourier e foi introduzido no estudo Analytical Theory of Heat, de Fourier, apesar de que a definição moderna de demonstração teria sido construída muito tempo depois. As funções ${\displaystyle \mathrm {f} }$ e ${\displaystyle \mathrm {\hat {f}} }$ são conhecidas como par integral de Fourier.

Na mecânica quântica, assim como na mecânica clássica, o Hamiltoniano é o gerador de translações temporais. Isto significa que o estado em um tempo posterior difere do estado atual pela atuação do operador Hamiltoniano (multiplicado pelo negativo unidade imaginária, −i). Para os estados com uma determinada energia, esta é uma instrução de relação de De Broglie entre a freqüência e a energia, e a relação geral é consistente com o que e o princípio da superposição.

No entanto, na mecânica clássica o Hamiltoniano é derivado a partir de um Lagrangeana,  que é uma quantidade mais fundamental em relação à relatividade especial. O Hamiltoniano indica como o movimento se desenvolve no tempo, mas o tempo é diferente em diferentes sistemas de referência. Assim, o Hamiltoniano é diferente em referenciais diferentes e este tipo de simetria não é aparente na formulação original da mecânica quântica.

O hamiltoniano é uma função da posição e momento no tempo t, determinando a posição e o momento no tempo (t+ε). A Lagrangiana é uma função das posição em t e (t+ε) (para um intervalo de tempo infinitesimal, a velocidade é medida é a velicidade instantânea, tornando a Lagrangeana como função da posição e da velocidade). A relação entre os dois é por uma transformação de Legendre e a condição que determina as equações de movimento (ou equações de Euler–Lagrange) é a extremização da ação.

Na mecânica quântica, uma transformação de Legendre é difícil de interpretar uma vez que o movimento não é dado por uma trajetória definida. Na mecânica clássica, a discretização temporal da transformação de Legendre torna-se:

${\displaystyle \epsilon H=p(t)(q(t+\epsilon )-q(t))-\epsilon L\,}$

X

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e

${\displaystyle p={\partial L \over \partial {\dot {q}}}\,}$

X

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onde a derivada parcial com relação a mantém q(t + ε) constante. A inversa da transformação de Legendre é:

${\displaystyle \epsilon L=\epsilon p{\dot {q}}-\epsilon H\,}$

X

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onde

${\displaystyle {\dot {q}}={\partial H \over \partial p}\,}$

X

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tomando q fixo.

Na mecânica quântica, um estado qualquer é uma superposição de estados independentes, com diferentes valores de q, ou diferentes valores de p, sendo que o momento e a posição  (p e q) podem ser interpretadas como operadores que não comutam. O operador p é definitivo em estados onde q são indeterminados. Considere dois estados separados no tempo. A atuação do operador correspondente à Lagrangiana:

${\displaystyle e^{i(p(q(t+\epsilon )-q(t))-\epsilon H(p,q))}\,}$

Se a multiplicação implícita na fórmula são reinterpretados como multiplicação de matrizes, o primeiro fator é:

${\displaystyle e^{-ipq(t)}\,}$

Se esse também é interpretado como uma multiplicação de matrizes, a soma sobre todos os estados integra todos q(t), levando a transformada de Fourier em q(t), mudando a base para p(t). Isto é a ação sobre o espaço de Hilbert – mudar de base para p no tempo t.

Em seguida, tem-se:

${\displaystyle e^{-i\epsilon H(p,q)}\,}$

que é uma  evolução infinitesimal para o futuro.

Finalmente, o último fator, nessa interpretação, é:

${\displaystyle e^{ipq(t+\epsilon )}\,}$

que é uma mudança de base de volta para q no tempo (t+ε).

Isto não é diferente do operador de evolução temporal: o fator H contém toda informação da dinâmica, avançando o estado no tempo. A primeira e a última parte são as transformadas de Fourier para a mudança na base pura de q a partir de uma base intermediária p. 

De forma equivalente, pode-se dizer que: uma vez que o Hamiltoniano é naturalmente uma função de p e q, exponenciando estas quantidades  e realizando uma mudança de base de p para q em cada passo permite expressar o elemento da matriz de H como uma função simples ao longo de cada caminho. Esta função é o análogo quântico da ação clássica. Esta observação é feita por Paul Dirac.

Dirac observou ainda que se pudesse, o quadrado do tempo-a evolução do operador no S representação:

${\displaystyle e^{i\epsilon S}\,}$

e isso é o operador de evolução temporal entre o tempo t e o tempo t + 2ε. Enquanto que na representação H a quantidade que está sendo somada nos estados intermediários é um elemento de matriz obscuro, na representação S esta é reinterpretado como uma quantidade associada ao caminho. No limite que leva um grande poder de esse operador, reconstrói-se a evolução quântica completa entre dois estados sendo o estada mais antigo com valor fixo q(0) a o estado mais recente com valor q(t). O resultado é uma soma sobre os caminhos com uma fase que é a ação quântica. Crucialmente, Dirac identificada  neste papel, a profundidade da mecânica quântica razão do princípio da mínima ação de controlar o limite clássico.

Interpretação de Feynman

O trabalho de Dirac não fornece uma prescrição para calcular a soma sobre os caminhos e  não mostra como recuperar a equação de Schrödinger ou as relações de comutação canônica a partir desta regra. Isto foi feito por Feynman^[4] , que sugeriu que no limite clássico a trajetória clássica surge naturalmente. 

Feynman mostrou que a ação quântica de Dirac foi, para a maioria dos casos de interesse, simplesmente igual a ação clássico, devidamente discretizado. Isso significa que a ação clássica é a fase adquirida pela evolução quântica entre dois pontos fixos. Feynman propẽ a recuperação de toda a mecânica quântica a partir dos seguintes postulados:

1. A probabilidade de um dado evento é dado pelo modulo quadrado de uma quantidade chamada de "amplitude de probabilidade".
2. A amplitude de probabilidade é dado somando a contribuição de todos os caminhos no espaço de configurações
3. A contribuição de um caminho em particular é proporcional à ${\displaystyle e^{iS/\hbar }}$, onde S é a ação dado pela integral temporal da Lagrangeana ao longo do caminho. 

Para encontrar a amplitude de probabilidade global para um determinado processo, soma-se, ou integra-se, a amplitude do 3º postulado sobre o espaço de todos os possíveis caminhos de sistema entre o estado inicial e o estado final, inclusive aqueles que são absurdos para o caso clássico. No cálculo da amplitude de probabilidade para uma única partícula, indo de uma coordenada espaço-tempo de coordenadas para outro, é correto incluir caminhos em que a partícula descreve trajetórias elaboradas,(curlicues) curvas em que a partícula dispara para o espaço sideral e volta novamente, e assim por diante. A integral de caminho integral atribui a todas estas amplitudes um mesmo peso, variando a fase de cada um, ou o argumento do número complexo. Contribuições de caminhos muito diferentes da trajetória clássica pode ser suprimida por interferência (ver abaixo).

Feynman mostrou que esta formulação da mecânica quântica é equivalente a aproximação canônica da mecânica quântica quando o Hamiltoniano possui, no máximo, termos quadráticos no momento. Uma amplitude calculada de acordo com o princípio de Feynman irá também obedecer a equação de Schrödinger para o Hamiltoniano correspondente à determinada ação.

A formulação de integral de caminho da teoria quântica de campos representa a amplitude de transição (correspondente a função correlação clássica) como uma soma ponderada de todos os possíveis histórias do sistema, de um estado inicial a um estado final. Um diagrama de Feynman é uma representação gráfica de uma contribuição perturbativa para a amplitude de transição.

Formulação concreta

Os postulados de Feynman são interpretados da seguinte maneira:

Definição da fração temporal (time-slicing)

Para uma partícula em um potencial suave, a integral de caminho é aproximada por caminhos em zig-zag, que, em uma dimensão, a integral de caminho é o produto de integrais ordinárias. Para o movimento de uma partícula que parte da posição x_a no tempo t_a e chega em x_b no tempo t_b, a seqüência de tempo:

${\displaystyle t_{a}=t_{0}<t_{1}<...<t_{n-1}<t_{n}<t_{n+1}=t_{b}}$

é dividida em (n + 1) segmentos de tempo (t_j − t_{j − 1)}, onde j = 1,...,n + 1, onde

${\displaystyle \epsilon =\Delta t={\tfrac {t_{b}-t_{a}}{n+1}}\,.}$

é uma duração de tempo fixo. Este processo é chamado de fração temporal (time-slicing).

Uma aproximação para a integral de caminho pode ser calculada como proporcional à

${\displaystyle \int \limits _{-\infty }^{+\infty }\,\ldots \int \limits _{-\infty }^{+\infty }\,\ \exp \left({\frac {\rm {i}}{\hbar }}\int \limits _{t_{a}}^{t_{b}}L(x(t),v(t),t)\,\mathrm {d} t\right)dx_{0}\,\ldots \,dx_{n}}$

X

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onde é a Lagrangiana do sistema unidimensional com posição x(t), velocidade v = ẋ(t) e dx_j corresponde à posição no j-ésimo passo de tempo, quando a integral temporal é aproximada por uma soma de n termos.^{[note 1]}

No limite n → ∞, a integral torna-se um integral funcional, que, a menos de fatores não essenciais, é o produto das amplitudes das probabilidade (as respectivas densidades desde que cada um seja representado em um espectro contínuo) para encontrar a partícula quântica  em t₀ no seu estado inicial x_a e em t_b no estado final x_b.

Na verdade, é a Lagrangiana clássica do sitema unidimensional considerado, que obedece a relação:

${\displaystyle L(x,{\dot {x}},t)=p\cdot {\dot {x}}-H(x,p,t)\,,}$

X

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onde é o Hamiltoniano, e:

${\displaystyle p={\frac {\partial L}{\partial {\dot {x}}}}}$,e, acima mencionado, "ziguezague" corresponde ao aparecimento dos termos:

${\displaystyle \exp \left({\frac {\rm {i}}{\hbar }}\epsilon \,\,\sum _{j=1}^{n+1}L\left({\tilde {x}}_{j},{\frac {x_{j}-x_{j-1}}{\epsilon }},j\right)\right)}$

X

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Na aproximação da soma Riemaniana a integral temporal, que é finalmente integrada de x₁ a x_n com a integração medida dx₁...dx_n, x_j é um valor arbitrário do intervalo correspondente ao j, ou seja, com seu centro entre (x_j + xj-1)/2.

Assim, em contraste com a mecânica clássica, não é apenas o caminho estacionário que contribui, na verdade, todos os caminhos virtuais entre o ponto inicial e o ponto final também contribuem.

O diagrama mostra a contribuição para integral de caminho de uma partícula livre para um conjunto de caminhos.

A aproximação de fatias temporais de Feynman aproximação, contudo, não existe para o mais importante de mecânica quântica caminho integrais de átomos, devido à singularidade do potencial de Coulomb e²/r na origem. Somente depois de substituir o tempo t por outro caminho dependentes de pseudo-parâmetro de tempo de

${\displaystyle s=\int {\frac {dt}{r(t)}}}$

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a singularidade é removido e a aproximação de fração temporal existe, que é exatamente integrável, uma vez que pode ser feita a partir de uma simples transformação de coordenadas, como foi descoberto em 1979 por Ismail Hakkı Duru e Hagen Kleinert.^[5][6] A combinação de um caminho dependentes do tempo, a transformação e a transformação de coordenadas é uma ferramenta importante para a resolução de muitos caminho integrais e é chamado genericamente de transformação Duru–Kleinert.

Partícula livre

A representação em integral de caminho a amplitude quântica para ir do ponto x ao ponto y como uma integral sobre todos os caminhos. Para uma partícual livre, a ação (por simplicidade onsiderando m = 1, ħ = 1):

${\displaystyle S=\int {{\dot {x}}^{2} \over 2}dt\,}$

a integral pode ser avaliada de forma explícita.

Para fazer isso, é conveniente iniciar sem o factor i no exponencial, de forma que grandes desvios são suprimidas por pequenos números, não anulando  contribuições oscilatórias.

${\displaystyle K(x-y;T)=\int _{x(0)=x}^{x(T)=y}\exp \left\{-\int _{0}^{T}{{\dot {x}}^{2} \over 2}dt\right\}Dx\,}$

Dividindo a integral em frações de tempo:

${\displaystyle K(x,y;T)=\int _{x(0)=x}^{x(T)=y}\Pi _{t}\exp \left\{-{1 \over 2}\left({x(t+\epsilon )-x(t) \over \epsilon }\right)^{2}\epsilon \right\}Dx\,}$

onde Dx é interpretado como uma coleção finita de integrações em cada múltiplo inteiro de ε. Cada fator do produto é uma Gaussiana como uma função de x(t + ε) centrada em x(t) com variância de ε. As múltiplas integrais são convoluções repetidas desta Gaussiana G_ε com cópias de si próprio em tempos adjacentes.

${\displaystyle K(x-y;T)=G_{\epsilon }*G_{\epsilon }...*G_{\epsilon }\,}$

Onde o número de circunvoluções é T/ε. O resultado é fácil calcular tomando a transformada de Fourier de ambos os lados, de modo que as convoluções tornam-se multiplicações.

${\displaystyle {\tilde {K}}(p;T)={\tilde {G}}_{\epsilon }(p)^{T/\epsilon }\,}$

A transformada de Fourier da Gaussiana G é outra Gaussiana da variância recíproca:

${\displaystyle {\tilde {G}}_{\epsilon }(p)=e^{-\epsilon {p^{2}/2}}\,}$

e o resultado é:

${\displaystyle {\tilde {K}}(p;T)=e^{-T{p^{2}/2}}\,}$

A transformada de Fourier resulta em K, e é uma Gaussiana novamente com variância reciproca:

${\displaystyle K(x-y;T)\propto e^{-{(x-y)^{2}/(2T)}}\,}$

A constante de proporcionalidade não é determinado pela abordagem de fração temporal, mas a relação de valores para diferentes extremidade é determinado. A constante de proporcionalidade é escolhida de forma a garantir que  entre duas frações de tempo o operador de evolução temporal é unitária. Uma forma mais clara de fixar a normalização é considerar a integral de caminho como uma descrição de um processo estocástico.

O resultado tem uma interpretaçã probabilistica. A soma sobre todos os caminhos do fator exponencial pode ser entendido como a soma da probabilidade da escolha de cada caminho. A probabilidade é o produto sobre cada segmento da probabilidade de escolher aquele segmento, de modo que cada probabilidade de cada segmento é independentemente de todos os outros. O fato de se obter uma Gaussiana espalhando de forma linear no tempo é resultado  do teorema do limite central, que pode ser interpretada como a primeira avaliação histórica da integral de caminho estatística.

A interpretação probabilística lea a uma escolha de normalização natural. A integral de caminho pode ser definido tal que: 

${\displaystyle \int K(x-y;T)dy=1\,}$

Esta condição normaliza o Gaussiana, e produz um Kernel que obedece a equação de difusão:

${\displaystyle {d \over dt}K(x;T)={\nabla ^{2} \over 2}K\,}$

Para integrais de caminho oscilatório, com um i (número imaginário) no numerador, a fração temporal produz convolved Gaussians, exatamente como antes. No entanto, agora o produto das convoluções é um pouco singular, pois requer cuidadosos limites para avaliar a integral oscilatoria. Para fazer a fatores bem definidos, a maneira mais fácil é adicionar uma pequena parte imaginária ao incremento de tempo . Isto está intimamente relacionado com a rotação de Wick. Então, o mesmo argumento da convolução resulta no propagador:

${\displaystyle K(x-y;T)\propto e^{i(x-y)^{2}/(2T)}\,}$

Que, com a mesma normalização de antes ( não a soma dos quadrados de normalização - esta função tem uma norma divergente) , obedece a uma equação de Schrödinger livre

${\displaystyle {d \over dt}K(x;T)={\rm {i}}{\nabla ^{2} \over 2}K\,}$

 Isto significa que qualquer superposição de K's irá, também, obedecer à mesma equação devido a linearidade. Definindo:

${\displaystyle \psi _{t}(y)=\int \psi _{0}(x)K(x-y;t)dx=\int \psi _{0}(x)\int _{x(0)=x}^{x(t)=y}e^{iS}Dx\,}$

 ψ_t obedece a equação de Schrödinger da mesma forma que K:

${\displaystyle {\rm {i}}{\partial \over \partial t}\psi _{t}=-{\nabla ^{2} \over 2}\psi _{t}\,}$

Oscilador harmônico simples

A lagrangiana do oscilador harmônico simples é:${\displaystyle {\mathcal {L}}={\frac {1}{2}}m{\dot {x}}^{2}-{\frac {1}{2}}m\omega ^{2}x^{2}\;.}$ ${\displaystyle x(t)=x_{c}(t)+\delta x(t)}$ , a ação torna-se ${\displaystyle S=S_{c}+\delta S}$. A trajetória clássica pode ser escrito como:

${\displaystyle x_{c}(t)=x_{i}{\frac {\sin {\omega (t_{f}-t)}}{\sin {\omega (t_{f}-t_{i})}}}+x_{f}{\frac {\sin {\omega (t-t_{i})}}{\sin {\omega (t_{f}-t_{i})}}}\;.}$

Esta trajetória obedece à ação clássica:

${\displaystyle S_{c}=\int _{t_{i}}^{t_{f}}{\mathcal {L}}\;\mathrm {d} t=\int _{t_{i}}^{t_{f}}\left({\frac {1}{2}}m{\dot {x}}^{2}-{\frac {1}{2}}m\omega ^{2}x^{2}\right)\;\mathrm {d} t={\frac {1}{2}}m\omega \left[{\frac {(x_{i}^{2}+x_{f}^{2})\cos {\omega (t_{f}-t_{i})}-2x_{i}x_{f}}{\sin {\omega (t_{f}-t_{i})}}}\right]}$

Em seguida, expande-se a contribuição não clássica em ${\displaystyle \delta S}$, como em uma série de Fourier, que resulta em:

${\displaystyle S=S_{c}+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{2}}a_{n}^{2}{\frac {m}{2}}\left[{\frac {(n\pi )^{2}}{t_{f}-t_{i}}}-\omega ^{2}(t_{f}-t_{i})\right]}$

o que significa que o propagador é:

${\displaystyle K(x_{f},t_{f};x_{i},t_{i})=Qe^{iS_{c}/\hbar }\prod _{j=1}^{\infty }{\frac {j\pi }{\sqrt {2}}}\int \;\mathrm {d} a_{j}\exp {\left[{\frac {i}{\hbar }}{\frac {1}{2}}a_{j}^{2}{\frac {m}{2}}\left({\frac {(j\pi )^{2}}{t_{f}-t_{i}}}-\omega ^{2}(t_{f}-t_{i})\right)\right]}=e^{iS_{c}/\hbar }Q\prod _{j=1}^{\infty }\left[1-\left({\frac {\omega (t_{f}-t_{i})}{j\pi }}\right)^{2}\right]^{-1/2}}$

para alguns de normalização: ${\displaystyle Q={\sqrt {\frac {m}{2\pi i\hbar (t_{f}-t_{i})}}}}$.

Usando a representação por produtória da função seno  ${\displaystyle \prod _{j=1}^{\infty }\left(1-{\frac {x^{2}}{j^{2}}}\right)={\frac {\sin {\pi x}}{\pi x}}}$, o propagador pode ser escrita como

${\displaystyle K(x_{f},t_{f};x_{i},t_{i})=Qe^{iS_{c}/\hbar }{\sqrt {\frac {\omega (t_{f}-t_{i})}{\sin {\omega (t_{f}-t_{i})}}}}=e^{iS_{c}/\hbar }{\sqrt {\frac {m\omega }{2\pi i\hbar \sin {\omega (t_{f}-t_{i})}}}}}$

Seja: ${\displaystyle T=t_{f}-t_{i}}$. Podemos escrever o propagador em termos das energias dos auto-estados:

${\displaystyle K(x_{f},t_{f};x_{i},t_{i})=\left({\frac {m\omega }{2\pi i\hbar \sin {\omega T}}}\right)^{1/2}\exp {\left[{\frac {i}{\hbar }}{\frac {1}{2}}m\omega {\frac {(x_{i}^{2}+x_{f}^{2})\cos {\omega T}-2x_{i}x_{f}}{\sin {\omega T}}}\right]}=\sum _{n=0}^{\infty }\exp {\left(-{\frac {iE_{n}T}{\hbar }}\right)}\psi _{n}(x_{f})^{*}\psi _{n}(x_{i})\;.}$

usando as identidades ${\displaystyle i\sin {\omega T}={\frac {e^{i\omega T}}{2}}\left(1-e^{-2i\omega T}\right)}$ and ${\displaystyle \cos {\omega T}={\frac {e^{i\omega T}}{2}}\left(1+e^{-2i\omega T}\right)}$,

${\displaystyle K(x_{f},t_{f};x_{i},t_{i})=\left({\frac {m\omega }{\pi \hbar }}\right)^{1/2}e^{-i\omega T/2}\left(1-e^{-2i\omega T}\right)^{-1/2}\exp {\left[-{\frac {m\omega }{2\hbar }}\left\{(x_{i}^{2}+x_{f}^{2}){\frac {1+e^{-2i\omega T}}{1-e^{-2i\omega T}}}-{\frac {4x_{i}x_{f}e^{-i\omega T}}{1-e^{-2i\omega T}}}\right\}\right]}}$

Podemos absorver todos os termos após ${\displaystyle e^{-i\omega T/2}}$ em${\displaystyle R(T)}$,resultando em:

${\displaystyle K(x_{f},t_{f};x_{i},t_{i})=\left({\frac {m\omega }{\pi \hbar }}\right)^{1/2}e^{-i\omega T/2}\cdot R(T)\;.}$

Expandindo ${\displaystyle R(T)}$à potencias de ${\displaystyle e^{-i\omega T}}$. Todos os termos nessa expansão são multiplicados pelo fator ${\displaystyle e^{-i\omega T/2}}$ que resultam em termos da forma ${\displaystyle e^{-i\omega T/2}e^{-in\omega T}=e^{-i\omega T({\frac {1}{2}}+n)}}$ com${\displaystyle n=0,1,2,\ldots }$. Comparing that to the eigenstate expansion, we get the energy spectrum for simple harmonic oscillator,

${\displaystyle E_{n}=\left(n+{\frac {1}{2}}\right)\hbar \omega \;.}$

A equação de Schrödinger

A integral de caminhol reproduz a equação de Schrödinger para os estados iniciais e finais, mesmo quando um potencial está presente. Isso é fácil de ver tomando a integral de caminho sobre intervalos de tempos infinitesimalmente separados.

${\displaystyle \psi (y;t+\epsilon )=\int _{-\infty }^{\infty }\;\;\psi (x;t)\int _{x(t)=x}^{x(t+\epsilon )=y}e^{{\rm {i}}\int _{t}^{t+\epsilon }({\frac {{\dot {x}}^{2}}{2}}-V(x))dt}Dx(t)\,dx\qquad (1)}$

Uma vez que  a fração de tempo é infinitesimal e as oscilações (que se cancelam) tornaram-se mais bruscas para grandes valores de ẋ, a integral de caminho passa a ser mais relevante para para y próximo de x. Neste caso, a ordem mais baixa da energia potencial é constante, e apenas a contribuição de energia cinética é não trivial. O termo da ação é:

${\displaystyle e^{-{\rm {i}}\epsilon V(x)}e^{{\rm {i}}{\frac {{\dot {x}}^{2}}{2}}\epsilon }\,}$

O primeiro termo gira a fase de ψ(x) localmente por uma quantidade proporcional à energia potencial. O segundo termo é o propagador da partícula livre, correspondente a i vezes um processo de difusão.  Para a ordem mais baixa em ε os termos são aditivos.

${\displaystyle \psi (y;t+\epsilon )\approx \int \psi (x;t)e^{-{\rm {i}}\epsilon V(x)}e^{{\rm {i}}(x-y)^{2} \over 2\epsilon }dx\,.}$

Como mencionado, o espalhamento difusivo em ψ provem do propagador da partícula livre, com uma rotação infinitesimal na fase que varia lentamente de ponto a ponto do potencial. Além disso, tem-se que:

${\displaystyle {\frac {\partial \psi }{\partial t}}={\rm {i}}\cdot \left[{\frac {1}{2}}\nabla ^{2}-V(x)\right]\psi \,}$

que é a equação de Schrödinger. Observe que a normalização da integral de caminho precisa ser corrigido da mesma maneira como no caso da partícula. Um potencial arbitrário contínuo não afeta a normalização, embora potenciais singulares exigem um tratamento cuidadoso.

Equações do movimento

Uma vez que os estados obedecer a equação de Schrödinger, a integral de caminho deve reproduzir as equações de movimento de Heisenberg para as médias de x e ẋ, mas é mais instrutivo ver isso diretamente. A abordagem direta mostra que a valores esperados calculados a partir da integral de caminho integral reproduzem os valores esperados usuais da mecânica quântica.

Começando por considerar a integral de caminho integral em estado inicial fixo.

${\displaystyle \int \psi _{0}(x)\int _{x(0)=x}e^{{\rm {i}}S(x,{\dot {x}})}Dx\,}$

Note que que x(t) em cada tempo é uma variável de integração. Assim, é legítima a mudança de variáveis na integral : x(t) = u(t) +ε(t) onde ε(t) é uma deslocamento que pode ser diferente para cada valor de t, impondo condições nos extremos por ε(0) = ε(T) = 0, para que assim os pontos das extremidades não sejam incorporados a integral:

${\displaystyle \int \psi _{0}(x)\int _{u(0)=x}e^{{\rm {i}}S(u+\epsilon ,{\dot {u}}+{\dot {\epsilon }})}Du\,}$

A alteração na integral por deslocamentos é, em ordem infinitesimal na variável ε:

${\displaystyle \int \psi _{0}(x)\int _{u(0)=x}\left(\int {\partial S \over \partial u}\epsilon +{\partial S \over \partial {\dot {u}}}{\dot {\epsilon }}dt\right)e^{iS}Du\,}$

que, integrando por partes em t, obtém-se:

${\displaystyle \int \psi _{0}(x)\int _{u(0)=x}-\left(\int \left({d \over dt}{\partial S \over \partial {\dot {u}}}-{\partial S \over \partial u}\right)\epsilon (t)dt\right)e^{iS}Du\,}$

Mas isso foi apenas uma deslocamento nas variáveis de integração, o que não altera o valor da integral para qualquer escolha de ε(t). A conclusão é que a variações de primeira ordem é zero para um estado inicial arbitrário e em qualquer ponto arbitrário no tempo:

${\displaystyle \langle \psi _{0}|{\delta S \over \delta x}(t)|\psi _{0}\rangle =0\,}$

que é a equação de movimento de Heisenberg.

Se a ação contém termos que multiplicam ẋ e x, para um mesmo tempo t, manipulações acima são apenas heurístico, pois as regras de multiplicação para essas quantidades não comutam (na formulação de integral de caminho) assim como é no formalismo de operadores.

Aproximação de fase estacionária

Se a variação da ação excede ħ por muitas ordens de magnitude, normalmente têm-se uma fase destrutiva fase de interferência outros do que na vizinhança desses trajetórias de satisfazer a quação de Euler–Lagrange, que agora é reinterpretado como a condição para a fase construtiva interferência. Isso pode ser mostrado usando o método da fase estacionária aplicada ao propagador. A medida que ħ diminui, a exponencial na integral oscila rapidamente no domínio complexo para qualquer alteração na ação. Assim, no limite de ħ  vai para zero, apenas os pontos onde a ação clássica não varia contribuem para o propagador.

Relações de comutação canônicas

A formulação da integral de caminho não deixa claro à primeira vista que as quantidades x e p não comutam. Na integral de caminho, x e p são apenas variáveis de integração não têm ordem obvia. Feynman descobriu que a não-comutatividade ainda estava presente.^[7]

Para ver isso, considere a integral de caminho simples, a caminhada aleatória do movimento browniano. Não estamos tratando de mecânica quântica, assim, na integral de caminho integral a ação não é multiplicado por i:

${\displaystyle S=\int \left({dx \over dt}\right)^{2}dt\,}$

A quantidade x(t) é flutuante, e sua derivada é definido como o limite de uma diferença discreta.

${\displaystyle {dx \over dt}={x(t+\epsilon )-x(t) \over \epsilon }\,}$

Observe que a distância que um a caminhada aleatória é proporcional a √t, de modo que:

${\displaystyle x(t+\epsilon )-x(t)\approx {\sqrt {\epsilon }}\,}$

Isso mostra que o movimentovnão é diferenciável, pois a relação que define a derivada diverge com probabilidade um.

A quantidade x ẋ é ambígua, com dois significados possíveis:

${\displaystyle [1]=x{dx \over dt}=x(t){(x(t+\epsilon )-x(t)) \over \epsilon }\,}$

Em cálculo elementar, os dois são diferentes apenas por uma quantia que vai para zero à medida que ε vai para zero. Mas, neste caso, a diferença entre os dois não é igual a zero:

${\displaystyle [2]-[1]={(x(t+\epsilon )-x(t))^{2} \over \epsilon }\approx {\epsilon \over \epsilon }\,}$

definindo o valor da diferença para qualquer passeio aleatório por uma função f:

${\displaystyle {(x(t+\epsilon )-x(t))^{2} \over \epsilon }=f(t)\,}$

e notando que f(t) é uma quantidade estatística de alta flutuação, cujo valor médio é de 1, i.e. um "processo Gaussiano" normalizado. As flutuações de uma tal quantidade pode ser descrita por uma Lagrangeana estatística

${\displaystyle {\mathcal {L}}=(f(t)-1)^{2}\,,}$

Para obter e as equações de movimento de f derivados da extremização da ação S correspondente a ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$

Definindo a ordem temporal como um operador de ordenação:

${\displaystyle [x,{\dot {x}}]=x{dx \over dt}-{dx \over dt}x=1\,}$

que é o chamado lema de Itō em cálculo estocástico, e de relações de comutação canônicas (euclidianas) em física.

Para uma ação estatística geral, um argumento similar mostra que

${\displaystyle \left[x,{\partial S \over \partial {\dot {x}}}\right]=1\,}$

e na mecânica quântica, a unidade imaginário multiplicativa na ação converte a relação anterior para a relação de comutação canônica:

${\displaystyle [x,p]={\rm {i}}\,}$

Partícula no espaço curvo

Para uma partícula no espaço curvo o termo cinética depende da posição, e a fração temporal superior não pode ser aplicada, sendo isto uma manifestação do problema do operador pedido. Pode-se, no entanto, resolver este problema transformando a integral de caminho em um espaço curvo, usando uma transformação de coordenadas múltiplas.( mapeamento não holonômico explicado aqui).

A integral de caminho e a função de partição

A integral de caminho é apenas a generalização da integral a seguir para todos problemas da mecânica quântica - 

${\displaystyle Z=\int e^{{\rm {i}}{\mathcal {S}}[x]/\hbar }Dx\,}$  onde  ${\displaystyle {\mathcal {S}}[x]=\int _{0}^{T}L[x(t)]\mathrm {d} t}$

é a ação do problema clássico investigado cujo caminho inicia-se em t=0 e termina em t = T, sendo Dx a notação para integração de todos os caminhos. No limite clássico, ${\displaystyle {\mathcal {S}}[x]\gg \hbar }$, o caminho da mínima ação domina o integral, porque a fase de qualquer outro caminho oscila rapidamente e as diferentes contribuições se cancelam.^[8]

Conexão com a mecânica estatística é a seguinte: Considerando apenas os caminhos que começam e terminam na mesma configuração, execute-se a rotação de Wick ${\displaystyle it=\tau }$, isto é, fazendo o tempo imaginário, e integra-se sobre todos os possíveis iconfigurações iniciais/finais.A integral de caminho torna-se semelhante a função de partição da mecânica estatística definida em um ensemble canônico com o inverso da temperatura proporcional ao tempo imaginário, ${\displaystyle 1/T=k_{\mathrm {B} }\tau /\hbar }$. S Rigorosamente falando, esta é a função de partição para uma teoria de campos estatistica .

Claramente, uma analogia profunda entre a mecânica quântica e mecânica estatística não pode depender desta formulação. Na formulação canônica, vê-se que a evolução do operador unitário de um estado é dada por

${\displaystyle |\alpha ;t\rangle =e^{-{\rm {i}}Ht/\hbar }|\alpha ;0\rangle }$

onde o estado α evoluiu a partir do tempo t = 0. Se  uma rotação de Wick é realizada, e encontra-se a amplitude de movimento a partir de qualquer estado, de volta para o mesmo estado (imaginária) do tempo que é dado por

${\displaystyle Z={\rm {Tr}}[e^{-HT/\hbar }]}$

que é, precisamente, a função de partição para o mesmo sistema na temperatura citada anteriormente. Um aspecto desta equivalência também era conhecido por Schrödinger ,comentando que a equação a se parecia com a equação de difusão, depois de feito a rotação de Wick.